長さが無限？

2021/01/15 08:00

おはようございます☀

本日はぶんちゃんが投稿します(*´▽｀*)

みなさん長さが無限の線と言われてどんな線を思い浮かべますか？
おそらく端のない無限に長い直線を
思い浮かべる方が多いのではないでしょうか？

今回のテーマはコッホ曲線！
これは線分の両端があるにもかかわらず、
その長さが無限になる不思議な図形なんです(ﾟдﾟ)！

では、コッホ曲線の作り方から説明しましょう。

まず1本の直線を引きます。

この図形をE0という名前にしておきます。

次に、直線を3等分し、真ん中の線分を底辺とする正三角形を描き、
更にその底辺を消します。

この図形は「直線を3等分し・・・」という操作を1回行っているので、
E1と名前を付けます。

つぎに、E1の図形にある4本の直線に対し、同様の操作を繰り返します。

この図形は操作を2回行っているのでE2と名前を付けます。

同様にして

操作を3回繰り返した図形をE3とします。

これ以降の図形は、操作を繰り返した回数「ｎ」を使って
Enと名前を付けていきます。

ちなみにE6でこんなにギザギザします。

コッホ曲線はこのｎを無限大にした図形の事です。
ｎを無限大にした図形E∞をFと名付ける事にします。

では、E0から順番に長さを測ってみましょう。
まず、E0の長さを１とします。
次に、E0→E1では、長さが1/3の直線が4本になっているので4/3倍、
E1→E2では、4本の直線それぞれに対して、
長さが更に1/3されて、本数が4倍になっているので
(4/3)×(1/3)×4=(4/3)^2となります(〇^2は、〇の2乗という意味です)
何となくわかったかもしれませんが、
E3でも同様に考えると(4/3)^3になります。
この図形の長さは「n」が大きくなるにつれて4/3倍ずつされていくので、
Enの長さは(4/3)^nとなります。
さて、コッホ曲線ではこの「n」を無限大にするので
F(E∞)の長さは(4/3)^∞となり、
これは無限大に発散します。
簡単に説明するなら、「n」が大きくなるにつれて、
ギザギザが増えていき、遠回りになるから、ですかね？